如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M．（1）求证：DP∥平面ANC；（2）求证：M是PC中点

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M．
（1）求证：DP∥平面ANC；
（2）求证：M是PC中点；
（3）求证：平面PBC⊥平面ADMN．

Answer 1

证明：（1）连接BD，AC，设BD∩AC=O，连接NO…（1分）
∵ABCD是的菱形∴O是BD中点，又N是PB中点
∴PD∥NO…（3分）
又NO⊂平面ANC，PD⊄平面ANC…（4分）
∴PD∥平面ANC…（5分）
（2）依题意有AD∥BC∴BC∥平面ADMN…（6分）
而平面PBC∩平面ADMN=MN…（7分）
∴BC∥MN…（9分）
又N是PB中点∴M是PC中点
（3）取AD中点E，连接PE，BE，BD，
∵ABCD为边长为2的菱形，且∠BAD=60°
∴△ABD为等边三角形，又E为AD的中点
∴BE⊥AD…（12分）
又∵PE⊥AD
∴AD⊥面PBE
∴AD⊥PB                                  …（13分）
又∵PA=AB，N为PB的中点
∴AN⊥PB…（14分）
∴PB⊥平面ADMN而PB⊂平面PBC…（15分）
∴平面PBC⊥平面ADMN…（16分）