一道数学中考题在平面直角坐标系XOY中,直线过点A（1,0）且与轴平行,直线L2过点B（0,2）且与x轴平行,直线L1与直线L2相交于点P.点E为直线L2上一点,反比例函数Y=k/x（k＞0）的图像过点E与直线L1相

Question

一道数学中考题
在平面直角坐标系XOY中,直线过点A（1,0）且与轴平行,直线L2过点B（0,2）且与x轴平行,直线L1与直线L2相交于点P.点E为直线L2上一点,反比例函数Y=k/x（k＞0）的图像过点E与直线L1相交于点F.
连接OE、OF、EF.若＞2,且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍,求E点的坐标；
是否存在点E及轴上的点M,使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等?若存在,求M点坐标；若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）若点E与点D重合,则k=1×2=2；
（2）当k＞2时,如图1,点E、F分别在P点的右侧和上方,过E作x轴的垂线EC,垂足为C,过F作y轴的垂线FD,垂足为D,EC和FD相交于点G,则四边形OCGD为矩形,
∵PF⊥PE,
∴S△FPE= PE•PF= （ -1）（k-2）= k2-k+1,
∴四边形PFGE是矩形,
∴S△PFE=S△GEF,
∴S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△EGD-S△OCE= •k-（ k2-k+1）-k= k2-1
∵S△OEF=2S△PEF,
∴ k2-1=2（ k2-k+1）,
解得k=6或k=2,
∵k=2时,E、F重合,
∴k=6,
∴E点坐标为：（3,2）；
（3）存在点E及y轴上的点M,使得△MEF≌△PEF,
①当k＜2时,如图2,只可能是△MEF≌△PEF,作FH⊥y轴于H,
∵△FHM∽△MBE,
∴ = ,
∵FH=1,EM=PE=1- ,FM=PF=2-k,
∴ = ,BM= ,
在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2,
∴（1- ）2=（ ）2+（ ）2,
解得k= ,此时E点坐标为（ ,2）,
②当k＞2时,如图3,只可能是△MFE≌△PEF,作FQ⊥y轴于Q,△FQM∽△MBE得, = ,
∵FQ=1,EM=PF=k-2,FM=PE= -1,
∴ = ,BM=2,
在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2,
∴（k-2）2=（ ）2+22,解得k= 或0,但k=0不符合题意,
∴k= ．
此时E点坐标为（ ,2）,
∴符合条件的E点坐标为（ ,2）（ ,2）．