在平面直角坐标系中,点p是第一象限角平分线上一动点,b是y轴负半轴上一点且OB=4,bp绕点b顺针旋转30度交x轴于点Q,连接bQ,当p点l运动到角bPQ=45度时求bQ的长度.

Question

在平面直角坐标系中,点p是第一象限角平分线上一动点,b是y轴负半轴上一点且OB=4,bp绕点b顺
针旋转30度交x轴于点Q,连接bQ,当p点l运动到角bPQ=45度时求bQ的长度.

Answer 1

设OP的方程：y=x （x＞0）,
P（p,p）,p＞0,
Q（q,0）,q＞0,
PQ2=（p-q）2+p2,PB2=p2+（p+2）2,BQ2=q2+22,
∠PBQ=30°,∠BPQ=45°,∠PQB=180°-（30°+45°）=105°,
sin∠PBQ=1/2,
sin∠BPQ=√2/2,
sin∠PQB=sin[180˚-（30˚+45˚）]=sin（30˚+45˚）=sin30˚cos45˚+cos30˚sin45˚=√2/4（√3+1）,
（2+√3）[（p-q）2+p2]=p2+（p+2）2①
（A） q=2p+2,代入①,无解
（B）中把q=2p-2带入①之后,p²-2√3p+2=0
解得P=√3+1,q=2√3.BQ=4
或者P=√3-1.q=2√3-4＜0（不符合题意舍去）