（2011•延平区质检）如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，CA=8，DB=4，点E在AB上，过O作OF⊥OE于O，OF=12OE，连接FB．（1）求证：∠AEO=∠BFO（2）当点E在线段AB上运动时，请写出一个反映BE2，BF2，E

Question

（2011•延平区质检）如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，CA=8，DB=4，点E在AB上，过O作OF⊥OE于O，OF=(1)/(2)OE，连接FB．
（1）求证：∠AEO=∠BFO
（2）当点E在线段AB上运动时，请写出一个反映BE²，BF²，EF²之间关系的等式，并说明理由；
（3）当点E在线段AB的延长线上运动时，如图，此时（2）中的结论是否依然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，CA=8，DB=4，
∴AC⊥BD，OA=4，OB=2，
∴∠AOB=90°，
而OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
又∵OF=(1)/(2)OE，
∴OA：OB=OE：OF=2：1，
∴△OAE∽△OBF，
∴∠AEO=∠BFO；

（2）BE²+BF²=EF²．理由如下：
由（1）中△OAE∽△OBF，
∴∠OAE=∠OBF，
∴∠ABO+∠OBF=90°，
∴△BEF为直角三角形，
∴BE²+BF²=EF²；

（3）BE²+BF²=EF²依然成立．理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，CA=8，DB=4，
∴AC⊥BD，OA=4，OB=2，
而OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
又∵OF=(1)/(2)OE，
∴OA：OB=OE：OF=2：1，
∴△OAE∽△OBF，
∴∠OAE=∠OBF，
∴△BEF为直角三角形，
∴BE²+BF²=EF²．