初二数学多边形已知,E是菱形ABCD的边AD的中点,EF⊥AC于H,EF交,CB的延长线于F,交AB于G,求证AB与EF互相平分.要详细过程.

Question

                      已知,E是菱形ABCD的边AD的中点, EF⊥AC于H,EF交,CB的延长线于F,交AB于G,求证AB与EF互相平分.        要详细过程.

Answer 1

证明：
△AGE和△BGF中：
∠AGE=∠BGF……(1)
因为：AD//FBC,
所以：
∠AEG=∠BFG……（2）
∠GAE=∠GBF……（3）
由(1)至（3)三个条件知道：△AGE∽△BGF
AG：BG=GE：GF……（4）
菱形ABCD的对角线AC平分∠A,所以∠HAE=∠HAG
EF⊥AC,RT△AHE和RT△AHG具有相同的直角边AH
所以：RT△AHE≌RT△AHG
所以：AE=AG……（5）
又因为E是AD的中点,所以：AE=AD/2……（6）
菱形ABCD的四条边相等：AD=AB……（7）
由（5）至（7）知道：AG=AB/2
所以G是AB的中点：AG：BG=1:1……（8）
由（4）和（8)知道：GE：GF=1:1
所以G是EF的中点
综上所述,G是AB和EF的中点,故AB和EF相互平分