已知函数f（x）=xx2+1．（1）求f（x）的极大值和极小值，并画出函数f（x）的草图（2）根据函数图象，如果方程f（x）-m=0（m∈R）有且仅有两个不同的实根，求m的取值范围．

Question

已知函数f（x）=(x)/(x2+1)．
（1）求f（x）的极大值和极小值，并画出函数f（x）的草图
（2）根据函数图象，如果方程f（x）-m=0（m∈R）有且仅有两个不同的实根，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=(x)/(x2+1)，
∴f′(x)＝(1−x2)/((x2+1)2)，
由f′（x）=0，得x=1，或x=-1，
当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＜0；
当x∈（-1，1）时，f′（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的减区间为（-∞，-1），
（1，+∞），增区间为（-1，1），
∴f（x）_极大值=f（1）=(1)/(2)，
f（x）_极小值=f（-1）=-(1)/(2)．
画出函数f（x）的草图如右图所示．
（2）由（1）并根据函数图象，知：
∵方程f（x）-m=0（m∈R）有且仅有两个不同的实根，
∴-(1)/(2)＜m＜0或0＜m＜(1)/(2)．
∴m的取值范围是（-(1)/(2)，0）∪（0，(1)/(2)）．