已知连续复利为0.05，现存入a万元，第一年取出19万元，第二年取出28万元，…第n年取出10+9n万元，问a至少为多少时，可以一直取下去？

Question

已知连续复利为0.05，现存入a万元，第一年取出19万元，第二年取出28万元，…第n年取出10+9n万元，问a至少为多少时，可以一直取下去？

Answer 1

由题得
a≥19e^-0.05+28e^-0.05×2+…+（10+9n）e^-0.05+…
=10

∞

n＝1

e−0.05+

∞

n＝1

9ne−0.05n
=10(e−0.05)/(1−e−0.05)+

∞

n＝1

9ne−0.05n

设f(x)＝

∞

n−1

9ne−0.05x

两边求积分

∫

x 0

f(t)dt＝

∞

n＝1

9n

∫

x 0

e−0.05ntdt=180

∞

n＝1

e−0.05nx+180
由x＞0，对上式两边求导
f(x)＝180(0.05e−0.05x)/((1−e−0.05x)2)＝(9e−0.05x)/((1−e−0.05x)2)
令x=1，则
f(1)＝(9e−0.05)/((1−e−0.05)2)
所以

a≥(10e−0.05)/(1−e−0.05)+(9e−0.05)/((1−e−0.05)2)=3794.2
所以a至少应为3795．