已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上．（Ⅰ）求此椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆的方程．

Question

已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上．
（Ⅰ）求此椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x²+y²=4上，求此椭圆的方程．

Answer 1

（Ⅰ）设A、B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由得：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
由根与系数的关系，得，
且判别式△=4a²b²（a²+b²-1）＞0，即a²+b²-1＞0（*）；
∴线段AB的中点坐标为（）．
由已知得，
∴a²=2b²=2（a²-c²），∴a²=2c²；故椭圆的离心率为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，从而椭圆的右焦点坐标为F（b，0），
设F（b，0）关于直线l：x-2y=0的对称点为（x₀，y₀），
则且，
解得．
由已知得 x₀²+y₀²=4，∴，
∴b²=4，代入（Ⅰ）中（*）满足条件
故所求的椭圆方程为．