二维随机变量(X、Y)在区域D={（x，y）x>0,y>0,y=1-2x}上服从均匀分布，求（X，Y）的联合分布函数

Question

二维随机变量(X、Y)在区域D={（x，y）x>0,y>0,y=1-2x}上服从均匀分布，求（X，Y）的联合分布函数

Answer 1

区间的划分一定得有图，左上边那张图把区域分成了6块，刚好对应了你解题方法中的6个区域，右边那张图表示了联合分布函数究竟是什么，实际上F(x,y)=P{X<=x,Y<=y}，就是右下图中粉红线左下边部分的概率。

明白后再看，我在右图中取了③区域的一个点M，实际上你会发现在6个区域各取一个点来求F(x,y)，他们的积分限都不一样，所以要分成6个区域(图我画不下了)

再说积分区域是怎确定的，以③区域为例，见左下方的图片，积分区域应该是粉色的那部分，解答中用的是∫[0->(1-y)/2] ds∫[0->y] 4dt - ∫[(1-y)/2->x] ds∫[1-2s->0] 4dt,这里你要把ds和dt想成对坐标轴的积分dx和dy，而式子中的x和y要看成是常数，就是我们之前取的那个点的坐标.

那么∫[0->(1-y)/2] ds∫[0->y] 4dt 实际上是左下图中粉色区域和绿色区域之和的积分限，∫[(1-y)/2->x] ds∫[1-2s->0] 4dt是绿色区域的积分限，相减后就得到要求的部分(粉色部分)。

这个地方要多想想就明白了，其他几个区域也是这样来计算积分限的，其他的就自己算了吧。