如图，己知正四棱棱柱AC1中，AB=BC=1，BB1=2，连接B1C和A1C（1）在线段CC1上求一点E使得A1C⊥面BED（即求出CE的长）；（2）求点A到平面A1B1C的距离；（3）求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值．

Question

如图，己知正四棱棱柱AC₁中，AB=BC=1，BB₁=2，连接B₁C和A₁C
（1）在线段CC₁上求一点E使得A₁C⊥面BED（即求出CE的长）；
（2）求点A到平面A₁B₁C的距离；
（3）求直线DE与平面A₁B₁C所成角的正弦值．

Answer 1

法一：（1）∵A₁C⊥面BED，∴A₁C⊥BE，
由A₁B₁⊥面BB₁C₁C知，A₁C为面BB₁C₁C的斜线，B₁C为其射影，∴B₁C⊥BE．
∵△BCB₁～△BCE，∴(CE)/(BC)＝(BC)/(BB1)＝(1)/(2)⇒CE＝(1)/(2)．
（2）可以证明AB∥面A₁B₁C，所以点A到平面A₁B₁C的距离与点B到平面A₁B₁C的距离相等；
又BE⊥A₁C，BE⊥B₁C，∴BE⊥面A₁B₁C，∴线段BF的长就是所求的距离．在△BCB₁中可以求得BF＝(2√(5))/(5)．
（3）连接DF有（2）知EF⊥面A₁B₁C，所以∠EDF就是DE与平面A₁B₁C所成角．在△BCE中求得EF＝(√(5))/(10)，
△DCE中求得DE＝(√(5))/(2)，∴sin∠EDF＝(EF)/(DE)＝(1)/(5)．
法二：本题还可以用向量法求解如下：
（1）根据正四棱棱柱性质，建立空间直角坐标系A-xyz，
B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），B₁（1，0，2），A₁（0，0，2）．
设E（1，1，z），
∵A₁C⊥面BED，
∴A₁C⊥BE，∴

A1C

•

BE

＝0，
∴（1，1，-2）•（0，1，z）=0，
∴z＝CE＝(1)/(2)．
（2）由（1）可以证明BE⊥面A₁B₁C，所以

作业帮用户 2017-09-23 举报

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