已知动点P与平面上两定点A（-1，0），B（1，0）连线的斜率的积为定值-2．（1）试求动点P的轨迹方程C．（2）设直线l：y=x+1与曲线C交于M、N两点，求|MN|

Question

已知动点P与平面上两定点A（-1，0），B（1，0）连线的斜率的积为定值-2．
（1）试求动点P的轨迹方程C．
（2）设直线l：y=x+1与曲线C交于M、N两点，求|MN|

Answer 1

（1）设P（x，y），则k_PA=(y−0)/(x+1)，k_PB=(y−0)/(x−1)
∵动点p与定点A（-1，0），B（1，0）的连线的斜率之积为-2，
∴k_PA×k_PB=-2
∴(y2)/(x2−1)=-2，即2x²+y²=2
又x=±1时，必有一个斜率不存在，故x≠±1
综上点P的轨迹方程为x²+(y2)/(2)=1（x≠±1）
（2）将直线l：y=x+1代入曲线C方程x²+(y2)/(2)=1，整理得3x²+2x-1=0
∴x1＝−1，x2＝(1)/(3)
∴|MN|＝√(2)|x1−x2| ＝ (4)/(3)√(2)