如图1将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．（1）求证：△OCP∽△PDA；（2）如图2，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P

Question

如图1将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）如图2，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．探究：当点M、N在移动过程中，线段EF与线段PB有何数量关系？并说明理由．

Answer 1

（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B，
∴∠APO=90°．
∴∠APD=90°-∠CPO=∠POC，
∴△OCP∽△PDA；

（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP，
∴∠APB=∠MQP，
∴MP=MQ，
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴PE=EQ=(1)/(2)PQ，
∵BN=PM，MP=MQ，
∴BN=QM，
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，

∠QMF=∠BNF

∠QFM=∠BFN

QM=BN

，
∴△MFQ≌△NFB，
∴QF=BF，
∴QF=(1)/(2)QB，
∴EF=EQ+QF=(1)/(2)PQ+(1)/(2)QB=(1)/(2)PB．