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(2014•东海县二模)如图,已知射线AB与x轴和y轴分别交于点A(-3,0)和点B(0,33).动点P从点A出发,以1个单位长度/秒的速度沿x轴向右作匀速运动,过点P作PQ⊥AB于Q.设运动时间为t秒,

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(2014•东海县二模)如图,已知射线AB与x轴和y轴分别交于点A(-3,0)和点B(0,3
3
).动点P从点A出发,以1个单位长度/秒的速度沿x轴向右作匀速运动,过点P作PQ⊥AB于Q.设运动时间为t秒,且第一象限内有点N(n,n-2).
(1)当n=3时,若PQ恰好经过点N,求t的值;
(2)连接BP,记△BPQ面积为S△BPQ,△ABP面积为S△ABP
①当S△BPQ
1
2
S△ABP时,求t的取值范围;
②当S△BPQ=
1
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S△ABP时,记Q(a,b),若(a-n)2+(b-n+2)2取得最小值时,求直线QN的解析式.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图

由点A(-3,0)和点B(0,3
3
),
在Rt△PNH中,∠BAO=60°.
当n=3时,点N(3,1).
在Rt△PNH中,∠NPH=30°,NH=1,PH=
3

又OH=xN=3,OA=3,
∴AP=6+
3

即t=6+
3


(2)①当S△BPQ=
1
2
S△ABP时,由于两个三角形同高,即有BQ=
1
2
AB,
需要考虑两种可能:
当点Q在点B下方时,点Q为线段AB的中点,此时容易出求AP=2AQ=6,即t=6,
当点Q在点B上方时,AQ=9,此时容易出求AP=2AQ=18,即t=18,
相应的,当S△BPQ
1
2
S△ABP时,求t的取值范围是6≤t≤18.
②当S△BPQ=
1
3
S△ABP时,由(2)①中的方法可求出BQ=2,相应点Q有两个可能的坐标是(-1,2
3
)、(1,4
3
).
由代数式(a-n)2+(b-n+2)2的特点,本质上求点Q到点N的最小距离,而点N(n,n-2)在直线y=x-2,也就是点Q到直线y=x-2的距离就是QN的最小值.
(Ⅰ)当点Q(-1,2
作业帮用户 2017-10-04 举报
问题解析
(1)构造如下草图分析,由点A(-3,0)和点B(0,3
3
),得出,∠BAO=60°,得出在Rt△PNH中,∠NPH=30°,NH=1,PH=
3
,进一步利用OH=xN=3,OA=3,求得答案即可;
(2)分两种情况:①当S△BPQ=
1
2
S△ABP,②当S△BPQ=
1
3
S△ABP时;在分别按点Q在点B下方时,当点Q在点B上方时,探讨得出答案即可.
名师点评
本题考点:
一次函数综合题.
考点点评:
此题考查一次函数的总和运用,分别将两种可能的坐标代入代数式整得出关于n的二次函数,利用二次函数的最值分析求出点Q的坐标实现问题求解.
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