已知抛物线y=x2与动直线y=（2t-1）x-c有公共点（x1，y1），（x2，y2），且x12+x22=t2+2t-3．（1）求实数t的取值范围；（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值．

Question

已知抛物线y=x ² 与动直线y=（2t-1）x-c有公共点（x ₁ ，y ₁ ），（x ₂ ，y ₂ ），且x ₁ ² +x ₂ ² =t ² +2t-3．
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值．

Answer 1

（1）联立y=x ² 与y=（2t-1）x-c，
消去y得二次方程x ² -（2t-1）x+c=0①
有实数根x ₁ ，x ₂ ，则x ₁ +x ₂ =2t-1，x ₁ x ₂ =c．
所以 c= x 1 x 2 =(1)/(2) [( x 1 + x 2 ) 2 -(

x

21

+

x

22

)]
= (1)/(2) [(2t-1 ) 2 -( t 2 +2t-3)] = (1)/(2) (3 t 2 -6t+4) ②
把②式代入方程①得 x 2 -(2t-1)x+(1)/(2) (3 t 2 -6t+4)=0 ③
t的取值应满足t ² +2t-3=x ₁ ² +x ₂ ² ≥0，④
且使方程③有实数根，即△=（2t-1） ² -2（3t ² -6t+4）=-2t ² +8t-7≥0，⑤
解不等式④得t≤-3或t≥1，
解不等式⑤得 2-(2)/(2) ≤t≤ 2+(2)/(2) ．
所以，t的取值范围为 2-(2)/(2) ≤t≤ 2+(2)/(2) ．⑥

（2）由②式知 c=(1)/(2) (3 t 2 -6t+4)=(3)/(2) (t-1 ) 2 +(1)/(2) ．
由于 c=(3)/(2) (t-1 ) 2 +(1)/(2)
在 2-(2)/(2) ≤t≤ 2+(2)/(2) 时是递增的，
所以，当 t=2-(2)/(2)
时， c min =(3)/(2) (2-(2)/(2) -1 ) 2 +(1)/(2) =(11-62)/(4) ．
答：当 t=2-(2)/(2) 时，c有最小值： c min =(3)/(2) (2-(2)/(2) -1 ) 2 +(1)/(2) =(11-62)/(4) ．