25．（14分）二次函数y=1/4x2-5/2x+6的图像与x轴从左到右两交点依次为A、B,与y轴交于点C（1）求A、B、C三点的坐标；（2）如果P(x,y)是抛物线AC之间的动点,O为坐标原点,试求△POA的面积S与x之间

Question

25．（14分）二次函数y=1/4x2 -5/2x+6 的图像与x轴从左到右两交点依次为A、B,与y轴交于点C
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）如果P(x,y)是抛物线AC之间的动点,O为坐标原点,试求△POA的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的点P,使得PO=PA,若存在,求出点P的坐标；若不存在,说明理由.

Answer 1

令x = 0 ,得到点C坐标：C(0 ,6)
又y = (1/4)x^2 - (5/2)x + 6 = (1/4)(x - 4)(x - 6) ,且A在B左侧 ,
∴A(4 ,0) ,B(6 ,0)
∵P在AC之间 ,∴P(x ,y)在第一象限中 ,∴0 < x < 4 ,0 < y < 6 ,
∴S = (1/2)·4·y = (1/2)x^2 - 5x + 12 ,0 < x < 4
存在使得PO = PA的点P ,此时P即为OA的中垂线与抛物线的交点 ,易得OA中垂线为：x = 2 ,联立抛物线方程得：y = (1/4)·4 - (5/2)·2 + 6 = 2 ,
即：使得PO = PA的P点坐标为：P（2 ,2）