如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．（1）求证：AB−OF＝12AC；（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A

Question

如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．

（1）求证：AB−OF＝(1)/(2)AC；
（2）点A₁、点C₁分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A₁F₁平分∠BA₁C₁，交BD于点F₁，过点F₁作F₁E⊥A₁C₁，垂足为E，请猜想EF₁，AB与(1)/(2)A1C1三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当A₁E₁=6，C₁E₁=4时，求BD的长．

Answer 1

（1）证明：过F作FG⊥AB于G，

∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，
∴OF=FG，
∵∠AOF=∠AGF=90°，AF=AF，OF=FG，
∴△AOF≌△AGF，
∴AO=AG，
直角三角形BGF中，∠DBA=45°，
∴FG=BG=OF，
∴AB=AG+BG=AO+OF=(1)/(2)AC+OF，
∴AB-OF=(1)/(2)AC．
（2）过F₁作F₁G₁⊥A₁B，过F₁作F₁H₁⊥BC₁，则四边形F₁G₁BH₁是矩形．
同（1）可得EF₁=F₁G，因此四边形F₁G₁BH₁是正方形．
∴EF₁=G₁F₁=F₁H₁，
即：F₁是三角形A₁BC₁的内心，
∴EF₁=（A₁B+BC₁-A1C1）÷2…①
∵A₁B+BC₁=AB+A₁A+BC-CC₁，而CC₁=A₁A，
∴A₁B+BC₁=2AB，
因此①式可写成：EF₁=（2AB-A₁C₁）÷2，
即AB-EF1=(1)/(2)A₁C₁．
（3）由（2）得，F₁是三角形A₁BC₁的内心，且E₁、G₁、H₁都是切点．
∴A₁E=（A₁C₁+A₁B-BC₁）÷2，
如果设CC₁=A₁A=x，
A₁E=[A₁C₁+（AB+x）-（AB-x）]÷2=（10+2x）÷2=6，
∴x=1，
在直角三角形A₁BC₁中，根据勾股定理有A₁B²+BC₁²=AC₁²，
即：（AB+1）²+（AB-1）²=100，
解得AB=7，
∴BD=7√(2)．