（2014•钟祥市模拟）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N．（Ⅰ）求证：平面ABM⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线CD

Question

（2014•钟祥市模拟）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N．
（Ⅰ）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；
（Ⅲ）求点N到平面ACM的距离．

Answer 1

（Ⅰ）证明：依题设知，AC是所作球面的直径，
则AM⊥MC．
又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，
所以A M⊥平面PCD，
所以平面ABM⊥平面PCD--------（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AM⊥PD，又PA=AD，则M是PD的中点可得AM=2√(2)，MC=√(MD2+CD2)=2√(3)
则S△ACM＝(1)/(2)AM•MC=2√(6)，
设D到平面ACM的距离为h，
由V_D-ACM=V_M-ACD即2√(6)h=8，
可求得h=(2√(6))/(3)，
设所求角为θ，则sinθ=(h)/(CD)=

√(作业帮用户2016-12-13举报问题解析（Ⅰ）要证平面ABM⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PAD内的两条相交直线BM、AB即可；（Ⅱ）先根据体积相等求出D到平面ACM的距离为h，即可求直线PC与平面ABM所成的角；（Ⅲ）先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的(5)/(9)，设点P到平面ACM距离为h，再利用第二问的结论即可得到答案．名师点评本题考点：点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．考点点评：本题考查直线与平面所成的角，平面与平面垂直的判定，三垂线定理，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)