已知V是欧式空间,A是V上的保距变换,即A满足对任意的α,β∈V,有|Aα-Aβ|=|α-β|成立,若A(0)=0,证明A是正交变换.

Question

已知V是欧式空间,A是V上的保距变换,即A满足对任意的α,β∈V,有|Aα-Aβ|=|α-β|成立,若A(0)=0,
证明A是正交变换.

Answer 1

证明:(1) 当β=0时
因为 |Aα| = |α|
所以 (Aα,Aα)^2 = (α,α)^2
所以 (Aα,Aα) = (α,α)
(2) 因为 对任意的α,β∈V,|Aα-Aβ|=|α-β|
所以有 (Aα-Aβ,Aα-Aβ) = (α-β,α-β)
所以 (Aα,Aα)-2(Aα,Aβ)+(Aβ,Aβ) = (α,α)-2(α,β)+(β,β)
由(1)得 (Aα,Aβ) = (α,β).
所以 A是正交变换.