如图，在△ABC中，AB>AC，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F，交AB、AC于点E、G．（1）求证：DF2=BF•CF；（2）如果AC：AB=3：4，求CF：BF的值；（3）如果BC=6，ABAC=x，BF=y，求

Question

如图，在△ABC中，AB>AC，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F，交AB、AC于点E、G．

（1）求证：DF²=BF•CF；
（2）如果AC：AB=3：4，求CF：BF的值；
（3）如果BC=6，(AB)/(AC)=x，BF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域．

Answer 1

（1）连接AF．

∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF=DF．
∴∠ADF=∠DAF．
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
∴∠ADF+∠CAD=∠DAF+∠BAD．
∴∠BAF=∠ACF．
又∵∠BFA=∠AFC．
∴△ACF∽△BAF．
∴(AF)/(BF)=(CF)/(AF)．
∴AF²=CF•BF．
∴DF²=CF•BF．
（2）∵△ACF∽△BAF，
∴(AF)/(BF)=(CF)/(AF)=(AC)/(AB)=(3)/(4)．
∴BF=(4)/(3)AF，CF=(3)/(4)AF．
∴CF：BF=9：16．
（3）∵BC=6，BF=y，
∴CF=BF-BC=y-6．
∵△ACF∽△BAF，
∴(BF)/(AF)=(AF)/(CF)=(AB)/(AC)=x．
∴BF=x•AF，CF=(AF)/(x)．
∴CF：BF=(1)/(x2)，即（y-6）：y=(1)/(x2)．
整理得：y=(6x2)/(x2-1)．
∴y与x的函数关系式为y=(6x2)/(x2-1)．
∵AB>AC，
∴x>1．