（2010•吴江市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，D为AB的中点，DE交AC于点E，DF交BC于点F，且DE⊥DF，过A作AG∥BC交FD的延长线于点G．（1）求证：AG=BF；（2）若AE=9，BF=18，求线段EF的长

Question

（2010•吴江市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，D为AB的中点，DE交AC于点E，DF交BC于点F，且DE⊥DF，过A作AG∥BC交FD的延长线于点G．
（1）求证：AG=BF；
（2）若AE=9，BF=18，求线段EF的长．

Answer 1

（1）证明：∵D是AB的中点，
∴AD=BD．
∵AG∥BC，
∴∠GAD=∠FBD．
∵∠ADG=∠BDF，（3分）
∴△ADG≌△BDF．（4分）
∴AG=BF．

（2）连接EG，
∵△ADG≌△BDF，
∴GD=FD．
∵DE⊥DF，
∴EG=EF．（6分）
∵AG∥BC，∠ACB=90°，
∴∠EAG=90°．（7分）
在Rt△EAG中，
∵EG²=AE²+AG²=AE²+BF²
∴EF²=AE²+BF²且AE=9，BF=18．（9分）
∴EF=9√(5)．（10分）