学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有3人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设X为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且X＞0的概率P(X＞0)=35．（1）

Question

学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有3人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设X为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且X＞0的概率 P(X＞0)=(3)/(5) ．
（1）求文娱队的人数；
（2）从文娱队中选出3人排练一个由1人唱歌2人跳舞的节目，有多少种挑选演员的方法？

Answer 1

（1）设文娱队共有n人（5≤n≤8，n∈N ^* ），则其中只会唱歌的有（n-5）人，只会跳舞的有（n-3）人，既会唱歌又会跳舞的有（8-n）人．
∵ P(X＞0)=(3)/(5) ≠0 ，∴n＜8．
若n=7，则 P(X＞0)=P(X=1)=(C11C16)/(C27) =(6)/(21) =(2)/(7) ≠(3)/(5) ，
∴5≤n≤6．
此时， P(X＞0)=P(X=1)+P(X=2)=(C18-nC12n-8)/(C2n) +(C28-n)/(C2n) =(3)/(5) ，
即   (2(8-n)(2n-8)+(8-n)(7-n))/(n(n-1)) =(3)/(5) ，整理可得3n ² -28n+60=0
解方程，得n=6，或 n=(10)/(3) （舍）
所以，文娱队共6人．
（2）由题意知，文娱队中只会唱歌的有1人，记为a，只会跳舞的有3人，记为b、c、d，既会唱歌又会跳舞的有2人，记为e、f；．
若表演唱歌的一人是a，则表演跳舞的2人从b、c、d、e、f中选，有C ₅ ² 种选法，
若表演唱歌的一人从e、f中选，则表演跳舞的2人从剩余会跳舞的4人中选，有C ₂ ¹ C ₄ ² 种选法，
故不同的选法共有C ₁ ¹ C ₅ ² +C ₂ ¹ C ₄ ² =22种．