一次晚餐会可能来p人或q人（p、q互质）.这次晚餐会准备了一个蛋糕.问最少分多少块（每块不一定大小相等）,才能使p或q人出席的任何一种情形,都能平分蛋糕.还有一题.a,b是给定的正整数.有

Question

一次晚餐会可能来p人或q人（p、q互质）.这次晚餐会准备了一个蛋糕.问最少分多少块（每块不一定大小相等）,才能使p或q人出席的任何一种情形,都能平分蛋糕.
还有一题.
a,b是给定的正整数.有一机器人沿n阶楼梯上下升降.机器人升一次a阶,将一次b阶.为使机器人可以从楼下到楼上,和从楼上到楼下,问n最小是多少.
这两道题很相似.答案也是一种形式p+q-1（a+b-1）
我想问问有没有人可以把这两道题归为一道呢.
a和b也互质。

Answer 1

（1）：p、q互质,记其最小公倍数为qp,蛋糕总大小记为1.
不妨设p>q,则最大的蛋糕不能达到1/q,否则来p个人就得再切,所以最大的蛋糕为1/p
最大的蛋糕每份（1/p）,为了使得数量最少,最多可切出p-1份；
剩余1/p,再切成每份1/pq的大小,有q份；
这样,不论来的是p人,还是q人,都可以平分.
所以至少需要p+q-1.
不论p、q大小,不影响p+q-1的结果.
（2）题的答案令人怀疑,先不计较a,b是否互质.因为楼梯是固定的,机器人上下是考虑顺序的,因此不论每阶高度是否相同,都不应该是这样的结果.
比如：a=3,b=2,如果按答案给的意思,应该有2阶（1/3楼层高度）,2阶（1/6楼层高度）,很明显,这个答案适用与分蛋糕,不适用上下楼.
答案应该是（a,b）的最小公倍数,每阶同高.
BTW：如果要变更,只能是a,b互质,且机器人每次上下高度相同,但阶数不同,方是那样的答案.
BTW：这类题目是跟最小公倍数,以及真因子相关的题目,换成纯数学语言表达题目就是：
若mod(a,b)≡1,问至少取多少个ab的真因子（允许不取和重复取）,其和能等于ab.