（2011•普陀区二模）直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1．将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C，（1）如图，当A′B′边经过点B时，求旋转角α的度数

Question

（2011•普陀区二模）直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1．将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C，
（1）如图，当A′B′边经过点B时，求旋转角α的度数；
（2）在三角板旋转的过程中，边A′C与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥A′B′交CB′边于点E，连接BE．
①当0°＜α＜90°时，设AD=x，BE=y，求y与x之间的函数解析式及定义域；
②当S△BDE＝(1)/(3)S△ABC时，求AD的长．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，∵∠A=30°，
∴∠ABC=60°．（1分）
由旋转可知：B′C=BC，∠B′=∠ABC=60°，∠α=∠B′CB
∴△B′BC为等边三角形．（2分）
∴∠α=∠B′CB=60°．（1分）

（2）①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图）．
∵DE∥A'B'，
∴(CD)/(CA′)＝(CE)/(CB′)．（1分）
由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．
∴(CD)/(CA)＝(CE)/(CB)，（1分）
∴(CD)/(CE)＝(CA)/(CB)．
∴△CAD∽△CBE；（1分）
∴(BE)/(AD)＝(BC)/(AC)．
∵∠A=30°
∴(y)/(x)=(BC)/(AC)＝(√(3))/(3)．（1分）
∴y＝(√(3))/(3)x（0＜x＜2）（2分）
②当0°＜α＜90°时，点D在AB边上．
AD=x，BD=AB-AD=2-x，
∵DE∥A′B′，
∴(CD)/(CA′)＝(CE)/(CB′)，
由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．
∴(CD)/(CA)＝(CE)/(CB)，
∴(CD)/(CE)＝(CA)/(CB)，
∴△CAD∽△CBE，
∴∠EBC=∠A=30°，又∠CBA=60°，
∴∠DBE=90°．
此时，S＝S△BDE＝(1)/(2)BD×BE＝(1)/(2)(2−x)×(√(3)x)/(3)＝

作业帮用户 2016-11-23 举报

问题解析

（1）由旋转的性质可得出∠α=∠B′CB=60°；
（2）①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图）．根据平行线DE∥A'B'分线段成比例知

(CD)/(CA′)＝(CE)/(CB′)、及由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE由此证明△CAD∽△CBE；根据相似三角形的对应边成比例、直角三角形的性质及∠A=30°求得y＝(√(3))/(3)x（0＜x＜2）；
②先求得△ABC的面积，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情况讨论：当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB-AD=2-x；当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x-2．

名师点评

本题考点：

相似三角形的判定与性质；旋转的性质；平行线分线段成比例．

考点点评：

本题主要考查旋转、全等三角形、解直角三角形、平行线分线段成比例等知识．解决本题的关键是结合图形，分类讨论．

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