已知函数f(x)=loga(1-2x+1)（a>0，a≠1）（1）写出函数f（x）的值域、单调区间（不必证明）（2）是否存在实数a使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+logan，1+logam]？若存在，求出实数a的取值

Question

已知函数f(x)=loga(1-(2)/(x+1))（a>0，a≠1）
（1）写出函数f（x）的值域、单调区间（不必证明）
（2）是否存在实数a使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+log_an，1+log_am]？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在说明理由．

Answer 1

（1）∵1-(2)/(x+1)≠1，∴loga(1-(2)/(x+1))≠0，
则f(x)=loga(1-(2)/(x+1))的值域为：（-∞，0）∪（0，+∞）；
由1-(2)/(x+1)>0，解得x<-1或x>1，且1-(2)/(x+1)在（-∞，0）、（0，+∞）上为增函数，
∴当a>1时，f（x）的增区间：（-∞，-1），（1，+∞）；
当0<a<1时，f（x）的减区间：（-∞，-1），（1，+∞）；
（2）假设存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+log_an，1+log_am]，
由m<n，及1+log_an<1+log_am，得0<a<1，
∴f（m）=1+log_am，f（n）=1+log_an，
∴m，n是f（x）=1+log_ax的两根，
∴loga(1-(2)/(X+1))=1+logax，化简得ax²+（a-1）x+1=0在（1，+∞）上有两不同解，
设G（x）=ax²+（a-1）x+1，则

G(1)>0

-(a-1)/(2a)>1

△>0

，解得0<a<3-2√(2)．
∴存在实数a∈（0，3-2√(2)），使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+log_an，1+log_am]．