如图，正方形ABCD的边长为a，以BC为直径向正方形内画半圆，EF切半圆于点G，分别交AB、CD于点E、F．（1）求四边形AEFD的周长；（2）已知∠BEF=60°，求四边形EBCF的周长．

Question

如图，正方形ABCD的边长为a，以BC为直径向正方形内画半圆，EF切半圆于点G，分别交AB、CD于点E、F．

（1）求四边形AEFD的周长；
（2）已知∠BEF=60°，求四边形EBCF的周长．

Answer 1

（1）∵以BC为直径向正方形内画半圆，EF切半圆于点G，
∴BA、CD都与半圆相切，
∴EB=EG，FG=FC，
∴四边形AEFD的周长=AE+EF+DF+AD=AE+EG+GF+DF+AD=AE+EB+FC+FD+AD=AB+CD+AD=3a；
（2）作FH⊥BE于H，如图，则四边形BCFH为矩形，HF=BC=a，BH=FC，
在Rt△EHF中，∵∠BEF=60°，
∴EH=(√(3))/(3)FH=(√(3))/(3)a，EF=2EH=(2√(3))/(3)a，
∴四边形EBCF的周长=EB+EF+CF+BC
=EG+EF+FG+BC
=2EF+BC
=(4√(3))/(3)a+a
=(4√(3)+3)/(3)a．