双曲线C：x2-y2=2右支上的弦AB过右焦点F．（1）求弦AB的中点M的轨迹方程（2）是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率K的值．若不存在，则说明理由．

Question

双曲线C：x²-y²=2右支上的弦AB过右焦点F．
（1）求弦AB的中点M的轨迹方程
（2）是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率K的值．若不存在，则说明理由．

Answer 1

（1）设M（x，y），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁²-y₁²=2，x₂²-y₂²=2，
两式相减可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2x（x₁-x₂）-2y（y₁-y₂）=0，
∴(y1−y2)/(x1−x2)=(x)/(y)，
∵双曲线C：x²-y²=2右支上的弦AB过右焦点F（2，0），
∴(y)/(x−2)＝(x)/(y)，
化简可得x²-2x-y²=0，（x≥2）-------（6分）  
（2）假设存在，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l_AB：y=k（x-2）
由已知OA⊥OB得：x₁x₂+y₁y₂=0，
∴(1+k2)x1x2−2k2(x1+x2)+4k2＝0---------①

x2−y2＝2

y＝k(x−2)

⇒(1−k2)x2+4k2x−4k2−2＝0，
所以x1+x2＝(4k2)/(k2−1)，x1x2＝(4k2+2)/(k2−1)（k²≠1）--------②
联立①②得：k²+1=0无解
所以这样的圆不存在．-----------------------（14分）