直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2-y2=1．（1）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数k的取值范围；（2）若直线分别与双曲线的两支各有一个公共点，求实数k的取值范围．

Question

直线l：y=kx+1与双曲线C：2x²-y²=1．
（1）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数k的取值范围；
（2）若直线分别与双曲线的两支各有一个公共点，求实数k的取值范围．

Answer 1

由题意，直线l：y=kx+1与双曲线C：2x²-y²=1，可得2x²-（kx+1）²=1，整理得（2-k²）x²-2kx-2=0．
（1）只有一个公共点，当2-k²=0，k=±√(2)时，符合条件；当2-k²≠0时，由△=16-4k²=0，解得k=±2；
（2）交于异支两点，(-2)/(2-k2)<0，解得-√(2)<k<√(2)．