P是双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞，b＞0)右支上一点，F1与F2是左右焦点，O为原点，则t=PF1+PF2OP的取值范围是．

Question

P是双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1(a＞，b＞0)右支上一点，F₁与F₂是左右焦点，O为原点，则t=(PF1+PF2)/(OP)的取值范围是______．

Answer 1

P（x₀，y₀），有y₀²=(b2)/(a2)（x₀²-a²），设双曲线半焦距为c，离心率为(c)/(a)
由第二定义有PF₁=ex₀-a，PF₂=ex₀+a，PF₁+PF₂=2ex₀
又OP²=x₀²+y₀²=x₀²+(b2)/(a2)（x₀²-a²）=e²x₀²-b²
∴(1)/(4)t²=(1)/(4)•(PF1+PF2)/(OP)=(1)/(1−(b2)/(e2x02))
∵x₀²≥a²，
∴1＜(1)/(4)t²≤e²，
∴t∈（2，2e]．