本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分（1）已知矩阵M=1221，β＝17，（Ⅰ）求M-1；（Ⅱ）求矩阵M的特征值和对应的特征向量；（Ⅲ）计算M100β．（2

Question

本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分
（1）已知矩阵M=

1	2
2	1

，β＝

1

7

，（Ⅰ）求M^-1；（Ⅱ）求矩阵M的特征值和对应的特征向量；（Ⅲ）计算M¹⁰⁰β．
（2）曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是（2，0），求曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形的周长．
（3）已知a＞0，求证：√(a2+(1)/(a2))−√(2)≥a+(1)/(a)−2．

Answer 1

（1）（Ⅰ）∵M＝

1	2
2	1

∴1×1-2×2=-3
∴M^-1=

−(1)/(3)	(2)/(3)
(2)/(3)	−(1)/(3)

．
（Ⅱ）M的特征值满足：

.

λ−1	−2
−2	λ−1

.

＝(λ−1)(λ−1)−4＝0
∴λ₁=3，λ₂=-1
λ₁=3时，由方程组

2x−2y＝0

−2x+2y＝0

，对应的特征向量为：α1＝

作业帮用户 2017-10-06 举报

问题解析

（1）（Ⅰ）根据逆矩阵公式可求M^-1，
（Ⅱ）先求特征值，M的特征值满足：

.

λ−1	−2
−2	λ−1

.

＝(λ−1)(λ−1)−4＝0，λ₁=3，λ₂=-1，进而可求对应的特征向量；（Ⅲ）先将β用特征向量进行表示，即β=4α₁+-3α₂，再求M¹⁰⁰β；
（2）设P（ρ，θ）是曲线C上的任意一点，则|OP|=ρ=1+cosθ，点A在曲线C上，曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形是以点A为圆心、|AP|为半径的圆，故可求其周长．
（3）利用分析法证明．原不等式等价于：√(a2+(1)/(a2))+2≥a+(1)/(a)+√(2)，两边平方
a2+(1)/(a2)+2√(a2+(1)/(a2))+4≥(a+(1)/(a))2+2√(2)(a+(1)/(a))+2，从而可将问题转化为证明a2+(1)/(a2)≥2即可．

名师点评

本题考点：

不等式的证明；二阶行列式与逆矩阵；特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程．

考点点评：

本题是选做题，涉及矩阵，极坐标方程，不等式的证明，综合性强，掌握的知识点多，属于中档题．

扫描下载二维码

©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议