已知sinα+sinβ=3/5,cosα+cosβ=4/5,求sin(α+β)+cos(α+β)的值答案好像有两个吧

Question

已知sinα+sinβ=3/5,cosα+cosβ=4/5,求sin(α+β)+cos(α+β)的值
答案好像有两个吧

Answer 1

由已知可得：
(sinα+sinβ)(cosα+cosβ)＝12/25
∴ (sinαcosβ+cosαsinβ)+(sinαcosα+sinβcosβ)＝12/25
∴ sin(α+β)+(sinαcosα+sinβcosβ)＝12/25
∴ 2sin(α+β)+(sin2α+sin2β)＝24/25
即 2sin(α+β)+2sin(α+β)cos(α-β)＝24/25 .①
已知的两方程平方相减得：
(cosα+cosβ)²－ (sinα+sinβ)²＝7/25
∴ 2(cosαcosβ-sinαsinβ)+(cos²α-sin²α)+(cos²β-sin²β)＝7/25
∴ 2cos(α+β)+(cos2α+cos2β)＝7/25
即 2cos(α+β)+2cos(α+β)cos(α-β)＝7/25 .②
已知的两方程平方相加 解出 cos(α-β)＝－1/2
分别代入①② 解出 sin(α+β)＝24/25,cos(α+β)＝7/25
∴ sin(α+β)+cos(α+β)＝31/25
注:和化积公式 sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]