某卫视的大型娱乐节目现场，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否通过进入下一轮，甲、乙、丙三名老师都有“通过”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票

Question

某卫视的大型娱乐节目现场，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否通过进入下一轮，甲、乙、丙三名老师都有“通过”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率均为(1)/(3)，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“通过”票，则该节目获得“通过”，否则该节目不能获得“通过”．
（I）求某节目的投票结果获“通过”的概率；
（Ⅱ）记某节目投票结果中所含“通过”和“待定”票票数之和为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

（Ⅰ）设“某节目的投票结果获“通过”为事件A，
则事件A包含该节目获2张“通过票”或该节目获3张“通过票”，
∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为(1)/(3)，
且三人投票相互没有影响，
∴某节目的投票结果是最终获“通过”的概率为：P(A)=

C

2 3

((1)/(3))2((2)/(3))+

C

3 3

((1)/(3))3=(7)/(27)．…（4分）
（Ⅱ）所含“通过”和“待定”票票数之和X的所有取值为0，1，2，3，
P(X=0)=

C

0 3

((1)/(3))3=(1)/(27)，
P(X=1)=

C

1 3

((2)/(3))((1)/(3))2=(6)/(27)，
P(x=2)=

C

2 3

((2)/(3))2((1)/(3))=(12)/(27)，
P(X=3)=

C

3 3

((2)/(3))3=(8)/(27)，…（8分）
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	(1)/(27)	(2)/(9)	(4)/(9)	(8)/(27)

EX=0×(1)/(27)+1×(2)/(9)+2×(4)/(9)+3×(8)/(27)=2．…（12分）