⒓已知f(x)是定义在R上恒不为零的函数,且对任意的x,y∈R都满足f(x)f(y)=f(x+y)①求f(0)的值,并证明对于任意的x∈R都有f(x)>0；②设xf(0),证明当x>0时,0

Question

⒓已知f(x)是定义在R上恒不为零的函数,且对任意的x,y∈R都满足f(x)f(y)=f(x+y)① 求f(0)的值,并证明对于任意的x∈R都有f(x)>0；② 设xf(0),证明当x>0时,0

Answer 1

（1）∵对于任意的x,y∈R都有f(x)f(y)=f(x+y)令x=y=0则f(0)f(0)=f(0)∵f（x）恒不为0∴f（0）=1∵f（x）=f（x/2+x/2）=[f（x/2）]?∴f(x)＞0（2）证明：当x＞0时∴f(0)=f[x+(-x)]=f(x)f(-x)=1∴f(x)=1/f(-x)∵当x＜0时,f(x)＞f(0),即f（x）＞1当x＞0时,-x＜0∴f(-x)＞1∴0＜f（x）＜1,得证