求满足下列条件的平面方程（1）与X轴Y轴Z州交点分别为（2,0,0）,（0,-3,0）,（0,0,-1）.（2）求过三点A（2,3,0）,B（-2,-3,4）,C（0,6,0）.求下列平面方程1过点（2,-1,4）且与直线(x-1)/3=y/-1=(z-1)/2平行

Question

求满足下列条件的平面方程
（1）与X轴Y轴Z州交点分别为（2,0,0）,（0,-3,0）,（0,0,-1）.
（2）求过三点A（2,3,0）,B（-2,-3,4）,C（0,6,0）.
求下列平面方程
1 过点（2,-1,4）且与直线(x-1)/3=y/-1=(z-1)/2平行
2 过点（2,-3,5）且与平面9x-4y+2z-1=0垂直
3 过点（3,4,-4）和（3,-2,2）
希望详解,

Answer 1

（1）类似平面中的直线的截距式,可直接写出方程为
x/2 + y/(-3) + z/(-1) = 1
（2）一种方法：设直线方程为Ax+By+Cz+D ＝ 0,然后把3个点代进去,求出A,B,C,D
另一种方法：利用向量求出平面的法向,即AB＝（－4,－6,4）,AC=(-2,3,0),二者叉乘（外积）得到法向：n=(－12,－8,-24）（约一下得到n=(3,2,6))
利用法向及任意一个点写出方程（我这里用的C点,坐标最简单）：3*(x-0)＋2*(y-6)+6*(z-0)=0,即
3x+2y+6z-12=0
1.直线方向为(3,-1,2),所以方程为
(x-2)/3=(y+1)/-1=(z-4)/2
2.平面的法向为(9,-4,2),此即为直线的方向,所以直线方程为
(x-2)/9=(y+3)/-4=(z-5)/2
3.两个点相减得直线的方向为(0,-6,6)->(0,-1,1)
所以直线为
x=3,　(y-4)/-1=(z+4)/1
＊知识点:A(x-a)+B(y-b)+C(z-c)＝0表示过点(a,b,c),法向为(A,B,C)的平面
＊（x-a)/A　=　(y-b)/B　=　(z-c)/C表示过点(a,b,c),方向为(A,B,C)的直线