已知函数y=f（x）定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=log2（x+12）．（1）求f（x）的解析式；（2）若M={m|函数g（x）=|f（x）|-m（m∈R）有两个零点}，求集合M．

Question

已知函数y=f（x）定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=log₂（x+(1)/(2)）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若M={m|函数g（x）=|f（x）|-m（m∈R）有两个零点}，求集合M．

Answer 1

（1）∵函数y=f（x）定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=log₂（x+(1)/(2)），
∴x=0时，f（x）=0，
x＜0，-f（x）=log2(−x+(1)/(2))，即f（x）=-log2(−x+(1)/(2))，
∴f（x）=

−log2(−x+(1)/(2))，x＜0

0，x＝0

log2(x+(1)/(2))，x＞0

．（6分）
（2）画出函数y=|f（x）|的图象．

∵函数g（x）=|f（x）|-m（m∈R）有两个零点，
∴由图象可得：m≥1．
∴M={m|函数g（x）=|f（x）|-m（m∈R）有两个零点}={m|m≥1}．（6分）