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在平面直角坐标系中,O为原点,点A(-2,0),点B(0,2),点E,点F分别为OA,OB的中点,若正方形OEDF绕点O顺时针旋转,得正方形OE′D′F′,记旋转角为α(0°<α<360°)(Ⅰ)如图①,
题目详情
在平面直角坐标系中,O为原点,点A(-2,0),点B(0,2),点E,点F分别为OA,OB的中点,若正方形OEDF绕点O顺时针旋转,得正方形OE′D′F′,记旋转角为α(0°<α<360°)
(Ⅰ)如图①,当α=90°时,求AE′,BF′的长;
(Ⅱ)如图②,当α=135°时,求证AE′=BF′,且AE′⊥BF′;
(Ⅲ)若直线AE′与直线BF′相交于点P,在旋转过程中当点P在坐标轴上时,分别表示出此时点E′、D′、F′的坐标(直接写出结果即可).
(Ⅰ)如图①,当α=90°时,求AE′,BF′的长;
(Ⅱ)如图②,当α=135°时,求证AE′=BF′,且AE′⊥BF′;
(Ⅲ)若直线AE′与直线BF′相交于点P,在旋转过程中当点P在坐标轴上时,分别表示出此时点E′、D′、F′的坐标(直接写出结果即可).
▼优质解答
答案和解析
(1)当α=90°时,点E′与点F重合,如图①.
∵点A(-2,0)点B(0,2),
∴OA=OB=2,
∵点E,点F分别为OA,OB的中点,
∴OE=OF=1,
∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°得到的,
∴OE′=OE=1,OF′=OF=1.
在Rt△AE′O中,
AE′=
=
.
在Rt△BOF′中,
BF′=
=
.
∴AE′,BF′的长都等于
;
(2)当α=135°时,如图②.
∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°所得,
∴∠AOE′=∠BOF′=135°.
在△AOE′和△BOF′中,
,
∴△AOE′≌△BOF′(SAS).
∴AE′=BF′,且∠OAE′=∠OBF′.
∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB,∠CAO=∠CBP,
∴∠CPB=∠AOC=90°,
∴AE′⊥BF′;
(3)点E′(1,0)、D′(1,-1)、F′(0,-1)
如图③,直线AE′与直线BF′相交于点P,当点P在坐标轴上时,α=180°,P与O重合,
∵OE′=OF′=1,
∴点E′(1,0)、D′(1,-1)、F′(0,-1).
∵点A(-2,0)点B(0,2),
∴OA=OB=2,
∵点E,点F分别为OA,OB的中点,
∴OE=OF=1,
∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°得到的,
∴OE′=OE=1,OF′=OF=1.
在Rt△AE′O中,
AE′=
OA2+OE2 |
5 |
在Rt△BOF′中,
BF′=
OB2+OF2 |
5 |
∴AE′,BF′的长都等于
5 |
(2)当α=135°时,如图②.
∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°所得,
∴∠AOE′=∠BOF′=135°.
在△AOE′和△BOF′中,
|
∴△AOE′≌△BOF′(SAS).
∴AE′=BF′,且∠OAE′=∠OBF′.
∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB,∠CAO=∠CBP,
∴∠CPB=∠AOC=90°,
∴AE′⊥BF′;
(3)点E′(1,0)、D′(1,-1)、F′(0,-1)
如图③,直线AE′与直线BF′相交于点P,当点P在坐标轴上时,α=180°,P与O重合,
∵OE′=OF′=1,
∴点E′(1,0)、D′(1,-1)、F′(0,-1).
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