如图，在平面直角坐标系中A（3，0），B（0，1），点P为△OAB内任一点，连PO、PA、PB，将△ABP绕着点A顺时针旋转60°得到△AB′P′，连PP′．（1）求点B′的坐标；（2）当△OPA与△APB满足什么

Question

如图，在平面直角坐标系中A（√(3)，0），B（0，1），点P为△OAB内任一点，连PO、PA、PB，将△ABP绕着点A顺时针旋转60°得到△AB′P′，连PP′．
（1）求点B′的坐标；
（2）当△OPA与△APB满足什么条件时，PO+PA+PB的值最小，并求出此最小值；
（3）试直接写出（2）中的点P坐标．

Answer 1

（1）∵A（√(3)，0），B（0，1）
∴AB=2，∠BAO=30°
∵将△ABP绕着点A顺时针旋转60°得到△AB′P′
∴AB′=2，∠B′AO=90°
∴B′（√(3)，2）

（2）由旋转可得，△APP′是等边三角形
∴PP′=PA
又∵P′B′=PB
∴PO+PA+PB=PO+PP′+P′B′
∴如图，当O、P、P′、B′四点共线时，PO+PA+PB的值最小
∴当∠OPA=∠APB=∠AP′B′=120°时，PO+PA+PB的值最小
此时，PO+PA+PB=OB′=√(22+(√(3))2)=√(7)

（3）如图，将（2）中的△OPB绕着点O逆时针旋转60°得到△OB″P″，则∠BOB″=60°，OB″=OB=1
∴点B的坐标为（-(√(3))/(2)，(1)/(2)）
由（2）可知A、P、P″、B″四点共线
∴点P为OB′与AB″的交点
根据A、B″两点的坐标可得直线AB″的解析式为y=-(√(3))/(9)x+(1)/(3)
根据B′的坐标可得直线OB′的解析式为y=(2√(3))/(3)x
联立方程组，解得P（(√(3))/(7)，