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如图,在平面直角坐标系中A(3,0),B(0,1),点P为△OAB内任一点,连PO、PA、PB,将△ABP绕着点A顺时针旋转60°得到△AB′P′,连PP′.(1)求点B′的坐标;(2)当△OPA与△APB满足什么
题目详情
如图,在平面直角坐标系中A(
,0),B(0,1),点P为△OAB内任一点,连PO、PA、PB,将△ABP绕着点A顺时针旋转60°得到△AB′P′,连PP′.
(1)求点B′的坐标;
(2)当△OPA与△APB满足什么条件时,PO+PA+PB的值最小,并求出此最小值;
(3)试直接写出(2)中的点P坐标.

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(1)求点B′的坐标;
(2)当△OPA与△APB满足什么条件时,PO+PA+PB的值最小,并求出此最小值;
(3)试直接写出(2)中的点P坐标.

▼优质解答
答案和解析
(1)∵A(
,0),B(0,1)
∴AB=2,∠BAO=30°
∵将△ABP绕着点A顺时针旋转60°得到△AB′P′
∴AB′=2,∠B′AO=90°
∴B′(
,2)
(2)由旋转可得,△APP′是等边三角形
∴PP′=PA
又∵P′B′=PB
∴PO+PA+PB=PO+PP′+P′B′
∴如图,当O、P、P′、B′四点共线时,PO+PA+PB的值最小
∴当∠OPA=∠APB=∠AP′B′=120°时,PO+PA+PB的值最小
此时,PO+PA+PB=OB′=
=
(3)如图,将(2)中的△OPB绕着点O逆时针旋转60°得到△OB″P″,则∠BOB″=60°,OB″=OB=1
∴点B的坐标为(-
,
)
由(2)可知A、P、P″、B″四点共线
∴点P为OB′与AB″的交点
根据A、B″两点的坐标可得直线AB″的解析式为y=-
x+
根据B′的坐标可得直线OB′的解析式为y=
x
联立方程组,解得P(
,
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∴AB=2,∠BAO=30°
∵将△ABP绕着点A顺时针旋转60°得到△AB′P′
∴AB′=2,∠B′AO=90°
∴B′(
3 |
(2)由旋转可得,△APP′是等边三角形

∴PP′=PA
又∵P′B′=PB
∴PO+PA+PB=PO+PP′+P′B′
∴如图,当O、P、P′、B′四点共线时,PO+PA+PB的值最小
∴当∠OPA=∠APB=∠AP′B′=120°时,PO+PA+PB的值最小
此时,PO+PA+PB=OB′=
22+(
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(3)如图,将(2)中的△OPB绕着点O逆时针旋转60°得到△OB″P″,则∠BOB″=60°,OB″=OB=1

∴点B的坐标为(-
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由(2)可知A、P、P″、B″四点共线
∴点P为OB′与AB″的交点
根据A、B″两点的坐标可得直线AB″的解析式为y=-
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根据B′的坐标可得直线OB′的解析式为y=
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联立方程组,解得P(
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