已知：如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（-4，0），B（0，3）．（1）求AB的长；（2）过点B作BC⊥AB，交轴于点C，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，如果P、Q分别是AB和AC上

Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（-4，0），B（0，3）．
（1）求AB的长；
（2）过点B作BC⊥AB，交轴于点C，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果P、Q分别是AB和AC上的动点，连接PQ，设AP=CQ=x，问是否存在这样的使得△APQ与△ABC相似？若存在，请求出的x值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵点A、B的坐标分别为A（-4，0），B（0，3），
∴OB=3，AO=4，
∴AB=√(AO2+OB2)=5；

（2）∵BC⊥AB，BO⊥AC，
∴BO²=AO•OC，即OC=(BO2)/(AO)=(9)/(4)=2.25，
∴C点的坐标是（2.25，0）；

（3）

当△APQ与∽△ABC时，PQ∥BC，
∴(AP)/(PB)=(AQ)/(QC)，
∵AP=CQ=x，
∴(x)/(5-x)=(6.25-x)/(x)，
解得x=(25)/(9)．
当△APQ与∽△ACB时，(AP)/(AC)=(AQ)/(AB)，
即(x)/(6.25)=(6.25-x)/(5)，
解得：x=(125)/(36)
答：（1）AB的长为5；（2）C的坐标为（2.25，0）；（3）存在，x的值为(25)/(9)或(125)/(36)．