在平面直角坐标系中，已知A（0，3），B（4，0），设P、Q分别是线段AB、OB上的动点，它们同时出发，点P以每秒3个单位的速度从点A向点B运动，点Q以每秒1个单位的速度从点B向点O运动，设

Question

在平面直角坐标系中，已知A（0，3），B（4，0），设P、Q分别是线段AB、OB上的动点，它们同时出发，点P以每秒3个单位的速度从点A向点B运动，点Q以每秒1个单位的速度从点B向点O运动，设运动时间为t（秒）。

（1）用含t的代数式表示点P的坐标；
（2）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？
（3）在什么条件下，以Rt△OPQ的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线？选择一种情况，求出所确定的抛物线的解析式。

Answer 1

（1）作PM⊥y轴，PN⊥x轴 ∵OA=3，OB=4， ∴AB=5 ∵PM∥x轴 ∴ ∴ ∴PM= t ∵PN∥y轴 ∴ ∴ ∴PN=3- t ∴点P的坐标为（ t，3- t）。

（2）①当∠POQ=90°时，t=0，△OPQ就是△OAB，为直角三角形 ②当∠OPQ=90°时，△OPN∽△PQN， ∴PN 2 =ON·NQ （3- t） 2 = t（4-t- t） 化简，得19t 2 -34t+15=0， 解得t=1或t= ③当∠OQP=90°时，N、Q重合 ∴4-t= t， ∴t= 综上所述，当t=0，t=1，t= ，t= 时，△OPQ为直角三角形。 （3）当t=1或t= 时，即∠OPQ=90°时，以Rt△OPQ的三个顶点可以确定一条对称轴平行于y轴的抛物线 当t=1时，点P、Q、O三点的坐标分别为P（ ， ），Q（3，0），O（0，0） 设抛物线的解析式为y=a（x-3）（x-0）， 即y=a（x 2 -3x） 将P（ ， ）代入上式，得a=- ∴y=- （x 2 -3x） 即y=- x 2 + x 说明：若选择t= 时，点P、Q、O三点的坐标分别是P（ ， ），Q（ ，0），O（0，0） 求得抛物线的解析式为y=- x 2 + x。