在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（6，0），若将经过B、C两点的直线y=mx+n沿y轴向下平移6则恰好经过原点，且抛物线的

Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（6，0），若将经过B、C两点的直线y=mx+n沿y轴向下平移6则恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x=4．
（1）求抛物线及直线BC的解析式；
（2）如果P是线段BC上一点，设△ABP、△ACP的面积分别是S_△ABP、S_△ACP，且S_△ABP=(2)/(3)S_△ACP，求点P的坐标；
（3）设⊙Q的半径为2，圆心Q在抛物线上运动．则在运动过程中，是否存在圆Q与坐标轴相切的情况，若存在，请求出圆心Q的坐标，若不存在，请说明理由．
（4）在（3）的情况下，设⊙Q的半径为r，是否存在与两坐标轴同时相切的圆，若存在，求出半径r的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）直线y=mx+n沿y轴向下平移6后恰好经过原点，
∴n=6，C（0，6）．
将B（6，0）代入y=mx+6，得mx+6=0，m=-1．
∴直线AC的解析式为y=-x+6．
∵抛物线y=ax²+bx+c过点A、C，且对称轴x=4，c=6．
∴

36a+6b+c＝0

−(b)/(2a)＝4

c＝6

，
解之得：

a＝(1)/(2)

b＝−4

c＝6

，
∴抛物线的函数解析式为y＝(1)/(2)x2−4x+6．
注：变可设抛物线方程y=a（x-2）（x-6），代入C（0，6）即可求之．
（2）设P（x′，-x′+6），
由S_△ABP=(2)/(3)S_△ACP得：S_△ABP=(2)/(3)（S_△ABC-S_△ABP），
∴5S_△ABP=2S_△ABC．
5×(1)/(2)（6-2）（-x′+6）=2×(1)/(2)×（6-2）×6，
解之得：x′=(18)/(5)，
∴P（(18)/(5)，(12)/(5)）．
（3）假设⊙Q在运动过程中，存在⊙Q与坐标轴相切的情况．
设点Q的坐标为（x₀，y₀）．
①当⊙Q与y轴相切时，有|x₀|=2，即x₀=±2．
当x₀=-2时，
∴y0＝(1)/(2)(−2)2−4×(−2)+6＝16，
∴Q₁（-2，16）．
当x₀=2时，y0＝(1)/(2)×22−4×2+6＝0，
∴Q₂（2，0）．
②当⊙Q与x轴相切时，有|y₀|=2，即y₀=±2．
当y₀=-2时，有(1)/(2)x02−4x0+6＝−2，解之得x₀=4．
∴Q₃（4，-2）．
当y₀=2时，有(1)/(2)x02−4x0+6＝2，
解之得，x0＝4±2√(2)．
∴Q₄（4+2√(2)，2），Q₅（4−2√(2)，2）．
综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为Q₁（-2，16）、Q₂（2，0）、Q₃（4，-2）、Q₄（4+2√(2)，2）、Q₅（4−2√(2)，2）．
（4）存在与两坐标轴同时相切的圆．设点Q（x₁，y₁）．
当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有|y₁|=|x₁|=r，即y₁=±x₁．
由y₁=x₁，得(1)/(2)x12−4x1+6＝x1，即x12−10x1+12＝0，
解之得：x1＝5±√(13)．
∴r＝5±√(13)．
由y₁=-x₁，得(1)/(2)x12−4x1+6＝−x1，
即x12−6x1+12＝0．
此方程无实数解．
综上所述，存在与两坐标轴同时相切的圆，此圆半径r＝5±√(13)．