如图1，在平面直角坐标系中，A（m，0），B（0，n），反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点P（m，n），且m=n−1+1−n+1．（1）双曲线上是否存在两点C、D，使四边形ABCD是平行四边形？若存在，

Question

如图1，在平面直角坐标系中，A（m，0），B（0，n），反比例函数y=(k)/(x)（x＞0）的图象经过点P（m，n），且m=√(n−1)+√(1−n)+1．
（1）双曲线上是否存在两点C、D，使四边形ABCD是平行四边形？若存在，求出C、D两点的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若m=3，n=4，过点A作AB的垂线交y轴于E点，取线段AE的中点D，过点B作AB的垂线交DO于F点，则求(1)/(BF)+(1)/(AD)的值．

Answer 1

（1）存在．
∵n-1≥0且1-n≥0，
∴n=1，
∴m=1，
∴A（1，0），B（0，1），P（1，1），
∴k=1×1=1，
∴反比例函数解析式为y=(1)/(x)，
作CE⊥x轴，DE⊥y轴，它们相交于E点，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴△CED≌△BOA，
∴CE=BO=1，DE=OA=1，
设C（t，(1)/(t)），则D点坐标为（t+1，(1)/(t)-1），
∴（t+1）•（(1)/(t)-1）=1，
整理得t²+t-1=0，解得t₁=(−1+√(5))/(2)，t₂=(−1−√(5))/(2)（舍去），
∴C点坐标为（(√(5)−1)/(2)，(√(5)+1)/(2)），D点坐标为（(√(5)+1)/(2)，(√(5)−1)/(2)）；
（2）∵m=3，n=4，
∴OA=3，OB=4，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAO=∠OEA，
∴Rt△AOB∽Rt△EOA，
∴OB：OA=OA：OE，即4：3=3：OE，解得OE=(9)/(4)，
在Rt△AOE中，AE=√(OA2+OE2)=√(32+((9)/(4))2)=(15)/(4)，
∵D为AE的中点，
∴AD=ED=(1)/(2)AE=(15)/(8)，
∵BF⊥AB，
∴BF∥AE，
∴△BOF∽△EOD，
∴BF：DE=BO：EO，即BF：(15)/(8)=4：(9)/(4)，
∴BF=(10)/(3)，
∴(1)/(BF)+(1)/(AD)=(3)/(10)+(8)/(15)=(5)/(6)．