如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PA⊥AB，CD∥AB，且PA=CD=2AB=4．将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角P-DC-B，连接PA、PB，设PB中点为E．（Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）在线段BD

Question

如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PA⊥AB，CD∥AB，且PA=CD=2AB=4．将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角P-DC-B，连接PA、PB，设PB中点为E．
（Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PBC；
（Ⅱ）在线段BD上是否存在一点F，使得EF⊥平面PBC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：直二面角P-DC-B的平面角为∠PDA=90°，
又PD⊥DC，则PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC．
又在平面四边形ABCP中，由已知数据得BD⊥BC，而PD∩BD=D，
故BC⊥平面PBD，
因为BC⊂平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC…（4分）
（Ⅱ）由（I）的分析易知，PD⊥DA，PD⊥DC，DC⊥DA，则以D为原点建立空间直角坐标系如图所示．结合已知数据可得A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），P（0，0，2），
则PB中点E（1，1，1），∵F∈平面ABCD，故可设F（x，y，0），
则

EF

＝(x−1，y−1，−1)
∵EF⊥平面ABCD，∴

EF

•

PB

＝0，

EF

•

PC

＝0
又

PB

＝(2，2，−2)，

PC

＝(0，4，−2)，
由此解得x＝y＝(1)/(2)，即F((1)/(2)，(1)/(2)，0)
易知这样的点F存在，且为线段BD上靠近点D的一个四等分点…..（8分）
（Ⅲ）由（II）

作业帮用户 2017-10-22 举报

问题解析

（Ⅰ）证明BC⊥平面PBD，即可证明平面PBD⊥平面PBC；
（Ⅱ）以D为原点建立空间直角坐标系，利用

EF

•

PB

＝0，

EF

•

PC

＝0，即可确定点F的位置；
（Ⅲ）由（II）

EF

＝(−(1)/(2)，−(1)/(2)，−1)是平面PBC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

名师点评

本题考点：

直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．

考点点评：

本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断所求法，解题时要注意向量法的合理运用．

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