如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝−12x+b交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关

Question

如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝−(1)/(2)x+b交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，DE=√(5)，试探究四边形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），
∴B（3，1），
若直线经过点A（3，0）时，则b=(3)/(2)；
若直线经过点B（3，1）时，则b=(5)/(2)；
若直线经过点C（0，1）时，则b=1．
①如图1，若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤(3)/(2)，
此时E（2b，0）
∴S=(1)/(2)OE•CO=(1)/(2)×2b×1=b；
②如图2，若直线与折线OAB的交点在BA上时，即(3)/(2)＜b＜(5)/(2)，
此时E（3，b-(3)/(2)），D（2b-2，1），
∴S=S_矩-（S_△OCD+S_△OAE+S_△DBE）
=3-[(1)/(2)（2b-2）×1+(1)/(2)×（5-2b）•（(5)/(2)-b）+(1)/(2)×3（b-(3)/(2)）]
=(5)/(2)b-b²，
综上所述，S=

b(1＜b≤(3)/(2))

(5)/(2)b−b2((3)/(2)＜b＜(5)/(2))

；

（2）如图3，设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，则矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知，∠MED=∠NED
又∵∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，
由题意知，D（2b-2，1），E（2b，0），
∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，
∴HN=HE-NE=2-a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a²=（2-a）²+1²，
∴a=