如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=10，边OA=6．（1）求C点的坐标；（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，F，E，求折痕DE的长；（3）若点M

Question

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=10，边OA=6．
（1）求C点的坐标；
（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，F，E，求折痕DE的长；
（3）若点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以M、D、F、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC=90°．
∵AC=10，OA=6，
∴OC=8．
∴C点的坐标为（8，0）．
（2）由折叠可得：DE⊥AC，AF=FC=5．
∵∠FCD=∠OCA，∠DFC=∠AOC=90°，
∴△DFC∽△AOC．
∴(DF)/(AO)＝(FC)/(OC)＝(DC)/(AC)．
∴(DF)/(6)＝(5)/(8)＝(DC)/(10)．
∴DF=(15)/(4)，DC=(25)/(4)．
∴OD=OC-DC=8-(25)/(4)=(7)/(4)．
∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠EAF=∠DCF
在△AFE和△CFD中，

∠EAF＝∠DCF

AF＝FC

∠EFA＝∠DFC

．
∴△AFE≌△CFD（ASA）．
∴EF=DF．
∴DE=2DF=2×(15)/(4)=(15)/(2)．
∴折痕DE的长为(15)/(2)．
（3）过点F作FH⊥DC，垂足为H，如图2，
∵S△DFC=(1)/(2)DF•FC=(1)/(2)DC•FH，DF=(15)/(4)，FC=5，DC=(25)/(4)，
∴FH=3．
∵FH⊥DC，DF=(15)/(4)，FH=3，
∴DH=(9)/(4)．
∴OH=OD+DH=4．
∴F（4，3）．
①若DF为菱形的一边
当DM为菱形的对角线时，如图3．点N与点F关于x轴对称，则点N的坐标为（4，-3）．
当DM为菱形的另一边时，如图4．此时FN∥DM，FN=DF=(15)/(4)．
∵F（4，3），
∴点N的坐标为（4-

作业帮用户 2017-10-14