梯形的对角线把梯形分成了4个三角形,上下左右四块,求证：上下的两三角形面积之和大于左右两块的面积之和

Question

梯形的对角线把梯形分成了4个三角形,上下左右四块,求证：上下的两三角形面积之和大于左右两块的面积之和

Answer 1

设上下两个三角形面积是a和b,左右两个面积是c和d.
根据蝴蝶原理： c=d, a*b=c*d
即a*b=c^2, 由均值不等式,√(a*b)≤ (a+b)/2
a*b≤(a+b)^2/4, 即 4c^2≤(a+b)^2, 即 2c≤a+b
即a＋b≥2c＝c+d 得证.
（蝴蝶原理可以很容易证明的）