已知直线l1：ax-2y=2a-4与l2：2x+a2y=2a2+4．（1）求证：直线l1与l2都过同一个定点．（2）当0<a<2时，l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，问：a取何值时，这个四边形的面积最小？求出这个最小

Question

已知直线l₁：ax-2y=2a-4与l₂：2x+a²y=2a²+4．
（1）求证：直线l₁与l₂都过同一个定点．
（2）当0<a<2时，l₁，l₂与两坐标轴围成一个四边形，问：a取何值时，这个四边形的面积最小？求出这个最小值．

Answer 1

证明：（1）由l₁：ax-2y-2a+4=0变形得：
a（x-2）-2y+4=0，
所以，当x=2时，y=2，
即直l₁过定点（2，2）．
由l₂：2x+a²y-2a²-4=0变形得a²（y-2）+2x-4=0，
所以当y=2时，x=2，
即直线l₂过定点（2，2），
（2）如图示：
直线l₁与y轴交点为A（0，2-a），直线l₂与x轴交点为B（a²+2，0），如图：
由直线l₁：ax-2y-2a+4=0知，直线l₁也过定点C（2，2），
过C点作x轴垂线，垂足为D，于是：
S_{四边形AOBC}=S_梯形AODC+S_△BCD
=(1)/(2)（2-a+2）•2+(1)/(2)a²•2
=a²-a+4，
∴当a=(1)/(2)时，S_{四边形AOBC}最小．
故当a=(1)/(2)时，所围成的四边形面积最小值为：(15)/(4)．