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已知直线l1:ax-2y=2a-4与l2:2x+a2y=2a2+4.(1)求证:直线l1与l2都过同一个定点.(2)当0<a<2时,l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,问:a取何值时,这个四边形的面积最小?求出这个最小
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已知直线l1:ax-2y=2a-4与l2:2x+a2y=2a2+4.
(1)求证:直线l1与l2都过同一个定点.
(2)当0<a<2时,l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,问:a取何值时,这个四边形的面积最小?求出这个最小值.
(1)求证:直线l1与l2都过同一个定点.
(2)当0<a<2时,l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,问:a取何值时,这个四边形的面积最小?求出这个最小值.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)由l1:ax-2y-2a+4=0变形得:
a(x-2)-2y+4=0,
所以,当x=2时,y=2,
即直l1过定点(2,2).
由l2:2x+a2y-2a2-4=0变形得a2(y-2)+2x-4=0,
所以当y=2时,x=2,
即直线l2过定点(2,2),
(2)如图示:
直线l1与y轴交点为A(0,2-a),直线l2与x轴交点为B(a2+2,0),如图:
由直线l1:ax-2y-2a+4=0知,直线l1也过定点C(2,2),
过C点作x轴垂线,垂足为D,于是:
S四边形AOBC=S梯形AODC+S△BCD
=
(2-a+2)•2+
a2•2
=a2-a+4,
∴当a=
时,S四边形AOBC最小.
故当a=
时,所围成的四边形面积最小值为:
.

a(x-2)-2y+4=0,
所以,当x=2时,y=2,
即直l1过定点(2,2).
由l2:2x+a2y-2a2-4=0变形得a2(y-2)+2x-4=0,
所以当y=2时,x=2,
即直线l2过定点(2,2),
(2)如图示:
直线l1与y轴交点为A(0,2-a),直线l2与x轴交点为B(a2+2,0),如图:
由直线l1:ax-2y-2a+4=0知,直线l1也过定点C(2,2),
过C点作x轴垂线,垂足为D,于是:
S四边形AOBC=S梯形AODC+S△BCD

=
1 |
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1 |
2 |
=a2-a+4,
∴当a=
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2 |
故当a=
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