在三角形ABC中,AB=AC(1)若P是BC边上的中点,连接AP,求证BP乘CP等于AB方-AP方2)若P是BC边上的任意一点,上面结论还成立吗?请说明理由;3）若P是BC边延长线上一点,线段AB.AP.BP.CP之间有什么样的关系?请

Question

在三角形ABC中,AB=AC
(1)若P是BC边上的中点,连接AP,求证BP乘CP等于AB方-AP方
2)若P是BC边上的任意一点,上面结论还成立吗?请说明理由;
3）若P是BC边延长线上一点,线段AB.AP.BP.CP之间有什么样的关系?请证明你的结论.

Answer 1

1）因为AB=AC,P是BC的中点
所以AP⊥BC,且AP=CP（三线合一）
在直角三角形ABP中,由勾股定理,得AB^2=AP^2+BP^2
即AB^2-AP^2=BP^2=BP*CP
2)过A作AF⊥BC,垂足为F
下面以P在线段BF上为例,即P靠近点B,其它同理,
在直角三角形ABF中,由勾股定理,得AB^2=AF^2+BF^2
在直角三角形APF中,由勾股定理,得AP^2=AF^2+PF^2,
两式相减,得,
AB^2-AP^2=（AF^2+BF^2）-（AF^2+PF^2）=BF^2-PF^2=(BF+PF)(BF-PF)
因为AB=AC,AF⊥BC
所以BF=CF(三线合一)
所以(BF+PF)(BF-PF)=(FC+PF)(BF-PF)=BP*PC
3)若P是BC的延长线上一点,线段AB.AP.BP.CP关系为AP^2-AB^2=BP*PC
理由
过A作AF⊥BC,垂足为F
下面以P在线段BC的延长线上为例,其它同理,
在直角三角形ACF中,由勾股定理,得AB^2=AC^2=AF^2+PF^2
在直角三角形APF中,由勾股定理,得AP^2=AF^2+PF^2,
两式相减,得,
AP^2-AB^2=（AF^2+PF^2）-（AF^2+FC^2）=PF^2-FC^2=(PF+FC)(PF-FC)
因为AB=AC,AF⊥BC
所以BF=CF(三线合一)
所以AP^2-AB^2=BP*PC