已知三角形ABC的边长是a,b,c,且m为正数,求证：a/(a+m)+b/(b+m)>c/(c+m),望得到简单又好理解的方法~

Question

已知三角形ABC的边长是a,b,c,且m为正数,求证：a/(a+m)+b/(b+m)>c/(c+m),望得到简单又好理解的方法~

Answer 1

∵a、b、c是三角形的三边,∴a、b、c都是正数,
∴ab＞0,∴2ab＋ac＋bc＞ac＋bc,∴（ab＋ac）＋（ab＋bc）＞ac＋bc,又m为正数,
∴（ab＋ac）m＋（ab＋bc）m＞（ac＋bc）m,
∴a（b＋c）m＋b（a＋c）m＞c（a＋b）m.······①
∵a、b、c都是正数,∴abc＞0,∴2abc＞abc.······②
∵a、b、c是三角形的三边,∴a＋b＞c,又m为正数,∴（a＋b）m^2＞cm^2······③
①＋②＋③,得：2abc＋a（b＋c）m＋b（a＋c）m＋（a＋b）m^2＞abc＋c（a＋b）m＋cm^2,
∴［abc＋a（b＋c）m＋am^2］＋［abc＋b（a＋c）m＋bm^2］＞abc＋c（a＋b）m＋cm^2,
∴a［bc＋（b＋c）m＋m^2］＋b［ac＋（a＋c）m＋m^2］＞c［ab＋（a＋b）m＋m^2］,
∴a（b＋m）（c＋m）＋b（a＋m）（c＋m）＞c（a＋m）（b＋m）.······④
显然,a＋m、b＋m、c＋m都是正数,∴④的两边同除以（a＋m）（b＋m）（c＋m）,得：
a/（a＋m）＋b/（b＋m）＞c/（c＋m）.