如果σ,τ分别是M到M',M'到M''的双射,那么乘积τσ就是M到M''的一个双射.麻烦老师给下完整的证明过程,

Question

如果σ,τ分别是M到M',M'到M''的双射,那么乘积τσ就是M到M''的一个双射.
麻烦老师给下完整的证明过程,

Answer 1

对M''中任一元素 x''
由于 τ 是双射, 所以存在 M' 中元素 x' 使得 τ(x') = x''
由于 σ 是双射, 所以存在 M 中元素 x 使得 σ(x) = x'
即有 τσ(x) = x''
所以 τσ 是满射.
若 τσ(x)=τσ(y)
则 τ(σ(x)) = τ(σ(y))
由 τ 是单射得 σ(x) = σ(y)
再由 σ 是单射得 x=y.
所以 τσ 是单射.
综上知 τσ 是 双射.