在三角形ABC中,角A=90度,AB＜AC,MN垂直BC交AC于点N,交BC于点M,点P,Q分别是边AB,AC上的点（不与端点重合）且MP垂直MQ9∠（1）如图1,M是BC中点,连接PQ①若MN=四分之一BC,求三角形NQM与三角形BPM的面积比

Question

在三角形ABC中,角A=90度,AB＜AC,MN垂直BC交AC于点N,交BC于点M,点P,Q分别是边AB,AC上的点
（不与端点重合）且MP垂直MQ9∠
（1）如图1,M是BC中点,连接PQ
①若MN=四分之一BC,求三角形NQM与三角形BPM的面积比
②探求BP²,PQ²,CQ²之间的数量关系,并证明
（2）如图二,BM=2MC,延长MQ至点E,使QE=MQ,连接PE,则BP²,CQ²,PE²之间有什么关系（要证明过程和思路.）

Answer 1

：（1）△PBM∽△QNM．理由：∵MQ⊥MP,MN⊥BC,∴∠PMN+∠PMB=90°,∠QMN+∠PMN=90°,∴∠PMB=∠QMN．∵∠B+∠C=90°,∠C+∠MNQ=90°,∴∠B=∠MNQ,∴△PBM∽△QNM．（2）∵∠BAC=90°,∠ABC=60°,∴BC=2AB=83 cm．∵M...