如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD＝6cm,CD＝4cm,BC＝BD＝10cm,点P由B出发沿BD方向匀速运动,速度为1cm/s；同时,线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动,速度为1cm/s,交BD于Q．连接PE,若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）

Question

如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD＝6cm,CD＝4cm,BC＝BD＝10cm,点P由B出发沿BD方向匀速运动,速度为1cm/s；同时,线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动,速度为1cm/s,交BD于Q．连接PE,若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时,PE∥AB?
（2）设△PEQ的面积为y（cm2）,求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t,
若存在,求出此时t的值；若不存在,说明理由.
（4）连接PF,在上述运动过程中,五边形
PFCDE的面积是否发生变化?说明理由.

Answer 1

1.因为PE∥AB
所以DE/DA=DP/DB
而DE=t,DP=10-t,
所以t/6=(10-t)/10
t=15/4
所以当t=15/4时,PE∥AB

2.因为EF平行且等于CD
所以四边形CDEF是平行四边形
有∠DEQ=∠C,∠DQE=∠BDC
因为BC=BD=10
所以∠DEQ=∠C=∠DQE=BDC
△DEQ∽△BCD
所以DE/BC=EQ/CD
t/10=EQ/4
EQ=2/5t
过B做BM垂直CD,交CD于M,过P作PN垂直EF,交EF于N
BM=√(10^2-2^2)=√96=4√6
因为ED=DQ=BP=t
所以PQ=10-2t
又△PNQ∽△BMD
所以PQ/BD=PN/BM
(10-2t)/10=PN/BM
PN=4√6(1-t/5)
S△PEQ=1/2*EQ*PN=-4√6/25t^2+4√6/5t

3.S△BCD=1/2*CD*BM=1/2*4*4√6=8√6
如果S△PEQ=2/25S△BCD
则有-4√6/25t^2+4√6/5t=2/25*8√6
解得t1=1,t2=4

4.在△PDE和△FBP中
DE=BP=t
PD=BF=10-t
∠PDE=∠FBP
所以△PDE≌△FBP
所以S五边形PFCDE=S△PDE+S四边形PFCD
=S△FBP+S四边形PFCD
=S△BCD=8√6
在运动过程中,五边形PFCDE的面积不变